دو عدد طبیعی را پیدا کنید که حاصل ضرب آن‌ها برابر با 30 باشد و حاصل جمع آن‌ها کمینه (حداقل) شود. به عبارت دیگر، ما می‌خواهیم دو عددی را بیابیم که هم ضربشان 30 شود و هم مجموعشان تا حد امکان کوچک باشد. این مسئله یک مثال ساده از مسائل بهینه‌سازی است که در ریاضیات و علوم کامپیوتر کاربرد فراوانی دارد.
🥳برای حل این مسئله، ابتدا می‌توانیم عدد 30 را به عوامل اول آن تجزیه کنیم. این کار به ما کمک می‌کند تا تمام جفت اعدادی که حاصل ضربشان 30 می‌شود را پیدا کنیم.
تجزیه 30 به عوامل اول: 30 = 2 × 3 × 5
حالا می‌توانیم با ترکیب این عوامل، جفت‌های مختلفی از اعداد طبیعی که حاصل ضربشان 30 می‌شود را پیدا کنیم:
با بررسی این جفت‌ها، می‌بینیم که کمترین حاصل جمع مربوط به جفت 5 و 6 است که برابر با 11 می‌شود.
🥰نامساوی میانگین-هندسی یک ابزار قدرتمند در ریاضیات است که به ما کمک می‌کند تا رابطه بین میانگین حسابی و میانگین هندسی مجموعه‌ای از اعداد را بررسی کنیم. این نامساوی بیان می‌کند که برای هر مجموعه از اعداد مثبت، میانگین حسابی همیشه بزرگتر یا مساوی با میانگین هندسی است.
برای دو عدد مثبت a و b، نامساوی AM-GM به صورت زیر نوشته می‌شود:
در مسئله ما، می‌دانیم که a × b = 30. بنابراین:
برای کمینه کردن a + b، باید a و b را تا حد امکان به هم نزدیک کنیم. در این حالت، a = b = √30 خواهد بود. اما از آنجایی که ما به دنبال اعداد طبیعی هستیم، باید اعدادی را پیدا کنیم که حاصل ضربشان 30 باشد و به √30 نزدیک باشند.
همانطور که در روش اول دیدیم، جفت 5 و 6 به این شرط نزدیک‌تر است و کمترین حاصل جمع را ارائه می‌دهد.
🤩می‌توانیم تمام اعداد طبیعی کوچکتر از √30 (تقریباً 5.48) را بررسی کنیم و ببینیم آیا عددی وجود دارد که 30 بر آن بخش‌پذیر باشد یا خیر.
| عدد اول | عدد دوم (30 تقسیم بر عدد اول) | حاصل جمع |
|---|---|---|
| 1 | 30 | 31 |
| 2 | 15 | 17 |
| 3 | 10 | 13 |
| 4 | 7.5 (غیر طبیعی) | - |
| 5 | 6 | 11 |
همانطور که در جدول می‌بینیم، کمترین حاصل جمع مربوط به جفت 5 و 6 است که برابر با 11 می‌شود.
🥰